Capitulo I
Primeras consideraciones sobre la matemática y su enseñanza.
El proceso de enseñanza debe ir emparejado con el de aprendizaje. En consecuencia para que el profesor desempeñe adecuadamente su tarea,no basta con que tenga un dominio suficiente de los contenidos, si no que habrá de considerar muy especialmente además, en elemento psicológico, aspecto fundamental en el proceso de una disciplina en aras de la metodolog{ia más adecuada para el aprendizaje, en la que deberá intervenir de una manera importante la evolución de la capacidad psíquica del alumno; necesidad tanto más imperiosa cuanto menor e sla edad de éste.
FINES DE LA EDUCACION
La finalidad principal de la educación es la formación integral del alumno que se lograra mediante el desarrollo de aptitudes. Implica un desenvolvimiento de su personalidad, tanto desde un plano individual como en cuanto a la integración a la sociedad. La escuela por si misma es insuficiente para lograr la formación de la persona, por mucho que se imparta una enseñanza de calidad orientada para este fin. FINES DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA. Es evidente que las matemáticas suministran una herramienta para poder abordar otras materias, por lo que asumen el carácter de ciencia básica. Ello es debido, por la necesidad de poseer conocimientos mínimos para estudiar física, química, biología, economía porque el aprendiste de lasa matemáticas proporcionan esquemas mentales idóneos para el trabad intelectual. FINALIDAD FORMATIVA El valor formativo es consecuencia de la consideración de la matemática como enseñanza disciplinadota de la inteligencia. Ello es debido a los siguientes factores. - El aspecto cualitativo del razonamiento matemático. La importancia formativa se deduce de su carácter deductivo... debe deducir y fijar con precisión una hipótesis la tesis de un razonamiento -hipótesis, tesis- -El aspecto cuantitativo de las matemáticas KANT "una ciencia es únicamente exacta en la medida que usa la matemática" y es cierto que la elaboración racional de cualquier ciencia se hace mediante el razonamiento cuantitativo que le proporciona. - Desarrolla la imaginación y la creatividad. La resolución de problemas donde la intuición y la imaginación deben actuar para pasar de lo general y abstracto de las formulas y proposiciones a lo concreto de las condiciones, evidentemente ejercita la creatividad y la imaginación. - Uso del lenguaje con precisión y claridad. Los conceptos matemáticos pueden ser utilizados en forma inequívoca por un número limitado de condiciones. Por ello la matemática puede crear un hábito por la precisión y claridad del lenguaje, acostumbrando al alumno a expresar las definiciones y enunciados de teoremas. - Originalidad. La analogía, la generalización la combinación de procedimientos simples son elementos inertes a la actividad matemática. Con ellos se ejercita la capacidad de resolver y discutir cuestiones nuevas. - Componente estética. Implicaciones en el arte y arquitectura y el desarrollo de la visión espacial. - Valoración positiva del esfuerzo humano. Debe contribuir a la valoración positiva del estudio y a la creación de hábitos de trabajo FINALIDAD UTILITARIA El aprendizaje de las matemáticas puede servir para la utilización en otras materias o en la vida cotidiana.
Finalidad instrumental.
Las ciencias nacen de un conjunto de hechos observados. Son cualitativas y se obtienen conclusiones cuantitativas que dan origen a leyes científicas. May ya empina a actuar Ela matemática.
Finalidad practica
Ya ha sido resaltada la utilización de las matemáticas y de sus métodos de trabajo en la vida cotidiana.
RFLEXIONES SOBRE EL RECHAZO A LAS MATEMÁTICAS Y SU DIFICULTAD.
Las matemáticas tienen su dudoso honor de ser una de las asignaturas menos populares de las distintas etapas educativas. Muchos alumnos dicen que no las entienden y les son antipáticas y sin embargo quienes las comprenden afirman que son muy fáciles y que incluso pueden llegar a ser divertidas.
La dificultad de las matemáticas puede ser en parte por si poca humanidad que trataremos de probar con los siguientes argumentos, tomados en buena parte de:
LA DISCIPLINA DE LAS MATEMATICAS.
La matemática es la que posee mas el carácter de disciplinad, como resultado de un conjunto de propiedades que tienen mayor grado que otras asignaturas: es la más lógica, la mas esquemática, la mas formal por sus figuras diagramas y algoritmos, la mas sistemática y organizada.
EXIGENCIA
La matemática es considerada la mas exigente; opinión que viene reforzada por el papel de criba selectiva que se le adjudica, si bien suele reconocerse el carácter de objetividad de sus pruebas.
Las matemáticas y su enseñanza defectuosa.
Las razones de la dificultad de las matemáticas y de las contradicciones apunadas en el apartado anterior no solo hay que buscarlas en la propia estructura interna de la materia sino que son debidas también a su enseñanza defectuosa. Las principales causas son:
Divorcio entre las matemáticas y la realidad
El dilema de la enseñanza de las matemáticas tradicionales es la de elegir entre el empirismo y logicismo. Mientras la edad del alumno prácticamente no admite razonamientos lógicos, se le inculcan destrezas, pero cuando aparecen unas mayores facultades de raciocinio se le llena la cabeza de axiomas, teoremas, corolarios, etc...
Desconexión entre la génesis y la transmisión de conocimientos
Los conceptos en matemáticas suelen presentarse separados del proceso histórico que dio lugar a su creación. Los descubrimientos se exponen sintéticamente, lo que evidentemente da una indudable solidez al tema presentado, y no se le da al alumno la oportunidad de colaborar en desabrir lo que aprende.
Se ha tendido a acentuar cada vez más la separación entre dos procesos que no debieron divorciarse nunca: el de la génesis de los conocimientos y el de su transmisión. Las consecuencias de ese alejamiento las ha sentido de forma notoria la enseñanza de las matemáticas.
Falta de motivación
Para que el alumno se muestre receptivo hacia las matemáticas es preciso que esté interesado en ellas, ósea, motivado.
Para lograr el interés hacia ellas es preciso que el estudiante perciba que se puede disfrutar con ellas al mismo tiempo que hacer uso de las mismas. El profesor por tanto, deberá tratar de aprovechar al alumno esa potencialidad, y comprometerle en la adquisición de los conocimientos utilizando los recursos adecuados para ello, como el empleo de problemas creativos, juegos etc.
TIPOS DE MÉTODOS.
Exposición del profesor.
La exposición es probablemente el método de enseñanza más utilizado en las universidades, pero también el más citado durante los últimos años cuando se busca referir prácticas educativas obsoletas o ineficaces. Antiguamente, los profesores y los autores de textos utilizaban la exposición como recurso para la gente que no tenía acceso a sus escritos. Ahora que abundan las posibilidades de acceso a la información, este recurso ha variado las características de su propósito original.
En la actualidad, con el fin de preparar a los alumnos para asumir los retos y roles en un mundo cambiante, los profesores universitarios enfrentan cada vez con más frecuencia la “presión” de reducir el uso de la exposición como método de instrucción, y generar en cambio un ambiente de trabajo más interactivo en el cual el alumno participe paralelamente en actividades colaborativas con sus compañeros. Sin embargo, cuando este método se aplica de la manera apropiada, con el contenido adecuado a los espacios de tiempo disponible e integrado con otras técnicas o estrategias didácticas, puede contribuir enormemente a un proceso de enseñanza aprendizaje efectivo, especialmente en aquellos cursos en donde se requiere cubrir mucho material. Lo importante, entonces, no es señalar si la exposición resulta mejor o peor que otros métodos de enseñanza aprendizaje, sino encontrar los propósitos adecuados para su uso.
Estudio de textos
Podemos pasar a hablar ahora de un método, más que de una técnica, de mejora de la compresión lectora. El método EPL2R responde a un estilo más minucioso y detallado de la lectura que la podéis usar como método de estudio. Cada letra del grupo EPL2R responde a la inicial de cinco pasos que se proponen en la lectura de cualquier texto: - Exploración: consiste en saber de que va el texto antes de ponernos a trabajar en el. Haz una primera lectura rápida para coger una pequeña idea de que va. - Preguntas: en esta fase nos planteamos una serie de preguntas, fundamentales a cerca del texto que creemos que tenemos que saber responder después de la lectura. Podemos transformar en preguntas los encabezamientos y títulos. - Lectura: esta es la fase propia de la lectura, que debe ser con el ritmo propio de cada uno, haciendo una lectura general y buscando el significado de lo que se lee. Si es necesario, busca en el diccionario las palabras que desconoces. En una sesión de estudio aquí introduciríamos el subrayado, las notas al margen, etc. - Respuestas: una vez terminada la lectura analítica anterior, pasa a contestar las preguntas que te planteabas anteriormente y si es necesario hazte alguna pregunta más específica, concreta o puntual sobre el texto y su contenido. - Revisión: consiste en una lectura rápida para revisar el texto, o tema, leído. Se ven los puntos que no quedaron claros y se completan las respuestas. Aquí, en una sesión de estudio, introduciríamos los esquemas y resúmenes.
Empleo de algoritmos.
El termino algoritmo surge de la traducción y deformación del nombre matemático árabe de los siglos VIII-IX Al-Khuwarizmi. El empleo de algoritmos es frecuente en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas; por ejemplo, para operar con fracciones o matrices, para derivar etc.
El uso discriminado de reglas y algoritmos, provoca u automatismo en la mente del alumno que induce a una cierta rigidez mental. Por ejemplo el empleo automático de reglas:
A/b + c/d = ad + BC /ad, a/Bach/d = ad/BC
Aprendizaje de conceptos.
NOVAK- Los conceptos describen alguna regularidad o relación dentro de un grupo de hechos y son designados por algún signo o símbolo.
DIENES- En los procesos de aprendizaje sobre todo si se trata de alumnos pequeños, es preciso mostrar diferentes objetos y en distintas situaciones.
Resolución de problemas aritméticos.
La poca habilidad para esto puede estar causada por un insuficiente dominio de las operaciones, pero teniendo un aprendizaje conveniente, pueden existir otros factores que dificulten este dominio.
- No comprensión del enunciado del problema
- No ¿O saber ordenare las diferentes partes del problema
- Falta de capacidad para razonar un problema concreto y elegir operaciones adecuadas.
La finalidad principal de la educación es la formación integral del alumno que se lograra mediante el desarrollo de aptitudes. Implica un desenvolvimiento de su personalidad, tanto desde un plano individual como en cuanto a la integración a la sociedad. La escuela por si misma es insuficiente para lograr la formación de la persona, por mucho que se imparta una enseñanza de calidad orientada para este fin. FINES DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA. Es evidente que las matemáticas suministran una herramienta para poder abordar otras materias, por lo que asumen el carácter de ciencia básica. Ello es debido, por la necesidad de poseer conocimientos mínimos para estudiar física, química, biología, economía porque el aprendiste de lasa matemáticas proporcionan esquemas mentales idóneos para el trabad intelectual. FINALIDAD FORMATIVA El valor formativo es consecuencia de la consideración de la matemática como enseñanza disciplinadota de la inteligencia. Ello es debido a los siguientes factores. - El aspecto cualitativo del razonamiento matemático. La importancia formativa se deduce de su carácter deductivo... debe deducir y fijar con precisión una hipótesis la tesis de un razonamiento -hipótesis, tesis- -El aspecto cuantitativo de las matemáticas KANT "una ciencia es únicamente exacta en la medida que usa la matemática" y es cierto que la elaboración racional de cualquier ciencia se hace mediante el razonamiento cuantitativo que le proporciona. - Desarrolla la imaginación y la creatividad. La resolución de problemas donde la intuición y la imaginación deben actuar para pasar de lo general y abstracto de las formulas y proposiciones a lo concreto de las condiciones, evidentemente ejercita la creatividad y la imaginación. - Uso del lenguaje con precisión y claridad. Los conceptos matemáticos pueden ser utilizados en forma inequívoca por un número limitado de condiciones. Por ello la matemática puede crear un hábito por la precisión y claridad del lenguaje, acostumbrando al alumno a expresar las definiciones y enunciados de teoremas. - Originalidad. La analogía, la generalización la combinación de procedimientos simples son elementos inertes a la actividad matemática. Con ellos se ejercita la capacidad de resolver y discutir cuestiones nuevas. - Componente estética. Implicaciones en el arte y arquitectura y el desarrollo de la visión espacial. - Valoración positiva del esfuerzo humano. Debe contribuir a la valoración positiva del estudio y a la creación de hábitos de trabajo FINALIDAD UTILITARIA El aprendizaje de las matemáticas puede servir para la utilización en otras materias o en la vida cotidiana.
Finalidad instrumental.
Las ciencias nacen de un conjunto de hechos observados. Son cualitativas y se obtienen conclusiones cuantitativas que dan origen a leyes científicas. May ya empina a actuar Ela matemática.
Finalidad practica
Ya ha sido resaltada la utilización de las matemáticas y de sus métodos de trabajo en la vida cotidiana.
RFLEXIONES SOBRE EL RECHAZO A LAS MATEMÁTICAS Y SU DIFICULTAD.
Las matemáticas tienen su dudoso honor de ser una de las asignaturas menos populares de las distintas etapas educativas. Muchos alumnos dicen que no las entienden y les son antipáticas y sin embargo quienes las comprenden afirman que son muy fáciles y que incluso pueden llegar a ser divertidas.
La dificultad de las matemáticas puede ser en parte por si poca humanidad que trataremos de probar con los siguientes argumentos, tomados en buena parte de:
LA DISCIPLINA DE LAS MATEMATICAS.
La matemática es la que posee mas el carácter de disciplinad, como resultado de un conjunto de propiedades que tienen mayor grado que otras asignaturas: es la más lógica, la mas esquemática, la mas formal por sus figuras diagramas y algoritmos, la mas sistemática y organizada.
EXIGENCIA
La matemática es considerada la mas exigente; opinión que viene reforzada por el papel de criba selectiva que se le adjudica, si bien suele reconocerse el carácter de objetividad de sus pruebas.
Las matemáticas y su enseñanza defectuosa.
Las razones de la dificultad de las matemáticas y de las contradicciones apunadas en el apartado anterior no solo hay que buscarlas en la propia estructura interna de la materia sino que son debidas también a su enseñanza defectuosa. Las principales causas son:
Divorcio entre las matemáticas y la realidad
El dilema de la enseñanza de las matemáticas tradicionales es la de elegir entre el empirismo y logicismo. Mientras la edad del alumno prácticamente no admite razonamientos lógicos, se le inculcan destrezas, pero cuando aparecen unas mayores facultades de raciocinio se le llena la cabeza de axiomas, teoremas, corolarios, etc...
Desconexión entre la génesis y la transmisión de conocimientos
Los conceptos en matemáticas suelen presentarse separados del proceso histórico que dio lugar a su creación. Los descubrimientos se exponen sintéticamente, lo que evidentemente da una indudable solidez al tema presentado, y no se le da al alumno la oportunidad de colaborar en desabrir lo que aprende.
Se ha tendido a acentuar cada vez más la separación entre dos procesos que no debieron divorciarse nunca: el de la génesis de los conocimientos y el de su transmisión. Las consecuencias de ese alejamiento las ha sentido de forma notoria la enseñanza de las matemáticas.
Falta de motivación
Para que el alumno se muestre receptivo hacia las matemáticas es preciso que esté interesado en ellas, ósea, motivado.
Para lograr el interés hacia ellas es preciso que el estudiante perciba que se puede disfrutar con ellas al mismo tiempo que hacer uso de las mismas. El profesor por tanto, deberá tratar de aprovechar al alumno esa potencialidad, y comprometerle en la adquisición de los conocimientos utilizando los recursos adecuados para ello, como el empleo de problemas creativos, juegos etc.
TIPOS DE MÉTODOS.
Exposición del profesor.
La exposición es probablemente el método de enseñanza más utilizado en las universidades, pero también el más citado durante los últimos años cuando se busca referir prácticas educativas obsoletas o ineficaces. Antiguamente, los profesores y los autores de textos utilizaban la exposición como recurso para la gente que no tenía acceso a sus escritos. Ahora que abundan las posibilidades de acceso a la información, este recurso ha variado las características de su propósito original.
En la actualidad, con el fin de preparar a los alumnos para asumir los retos y roles en un mundo cambiante, los profesores universitarios enfrentan cada vez con más frecuencia la “presión” de reducir el uso de la exposición como método de instrucción, y generar en cambio un ambiente de trabajo más interactivo en el cual el alumno participe paralelamente en actividades colaborativas con sus compañeros. Sin embargo, cuando este método se aplica de la manera apropiada, con el contenido adecuado a los espacios de tiempo disponible e integrado con otras técnicas o estrategias didácticas, puede contribuir enormemente a un proceso de enseñanza aprendizaje efectivo, especialmente en aquellos cursos en donde se requiere cubrir mucho material. Lo importante, entonces, no es señalar si la exposición resulta mejor o peor que otros métodos de enseñanza aprendizaje, sino encontrar los propósitos adecuados para su uso.
Estudio de textos
Podemos pasar a hablar ahora de un método, más que de una técnica, de mejora de la compresión lectora. El método EPL2R responde a un estilo más minucioso y detallado de la lectura que la podéis usar como método de estudio. Cada letra del grupo EPL2R responde a la inicial de cinco pasos que se proponen en la lectura de cualquier texto: - Exploración: consiste en saber de que va el texto antes de ponernos a trabajar en el. Haz una primera lectura rápida para coger una pequeña idea de que va. - Preguntas: en esta fase nos planteamos una serie de preguntas, fundamentales a cerca del texto que creemos que tenemos que saber responder después de la lectura. Podemos transformar en preguntas los encabezamientos y títulos. - Lectura: esta es la fase propia de la lectura, que debe ser con el ritmo propio de cada uno, haciendo una lectura general y buscando el significado de lo que se lee. Si es necesario, busca en el diccionario las palabras que desconoces. En una sesión de estudio aquí introduciríamos el subrayado, las notas al margen, etc. - Respuestas: una vez terminada la lectura analítica anterior, pasa a contestar las preguntas que te planteabas anteriormente y si es necesario hazte alguna pregunta más específica, concreta o puntual sobre el texto y su contenido. - Revisión: consiste en una lectura rápida para revisar el texto, o tema, leído. Se ven los puntos que no quedaron claros y se completan las respuestas. Aquí, en una sesión de estudio, introduciríamos los esquemas y resúmenes.
Empleo de algoritmos.
El termino algoritmo surge de la traducción y deformación del nombre matemático árabe de los siglos VIII-IX Al-Khuwarizmi. El empleo de algoritmos es frecuente en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas; por ejemplo, para operar con fracciones o matrices, para derivar etc.
El uso discriminado de reglas y algoritmos, provoca u automatismo en la mente del alumno que induce a una cierta rigidez mental. Por ejemplo el empleo automático de reglas:
A/b + c/d = ad + BC /ad, a/Bach/d = ad/BC
Aprendizaje de conceptos.
NOVAK- Los conceptos describen alguna regularidad o relación dentro de un grupo de hechos y son designados por algún signo o símbolo.
DIENES- En los procesos de aprendizaje sobre todo si se trata de alumnos pequeños, es preciso mostrar diferentes objetos y en distintas situaciones.
Resolución de problemas aritméticos.
La poca habilidad para esto puede estar causada por un insuficiente dominio de las operaciones, pero teniendo un aprendizaje conveniente, pueden existir otros factores que dificulten este dominio.
- No comprensión del enunciado del problema
- No ¿O saber ordenare las diferentes partes del problema
- Falta de capacidad para razonar un problema concreto y elegir operaciones adecuadas.
LA DISCALCULIA
Dificultad especifica en el proceso de aprendizaje del calculo que presentan alumnos de inteligencia normal, por lo que incurren en errores de forma sistémica en la realización de una o varias operaciones aritméticas.
Errores más frecuente:
- Desconocer las reglas de llevarse
-Omitir los ceros intermedios
- Escribir los números en orden inverso Ej. 35 en lugar de 53
- Realizar las operaciones comenzando por la izquierda: 97 + 31 = 129
- Colocar mal los productos parciales que aparecen en la multiplicación:
13 X 72, 26, 91, 117
Errores más frecuente:
- Desconocer las reglas de llevarse
-Omitir los ceros intermedios
- Escribir los números en orden inverso Ej. 35 en lugar de 53
- Realizar las operaciones comenzando por la izquierda: 97 + 31 = 129
- Colocar mal los productos parciales que aparecen en la multiplicación:
13 X 72, 26, 91, 117
EL ALGEBRA
La introducción del lenguaje formal o simbólico que se inicia sustituyendo los números por letras, constituye el paso de la arit
La introducción del lenguaje formal o simbólico que se inicia sustituyendo los números por letras, constituye el paso de la arit
mética al álgebra, y dicho tránsito debe realizarse con mucho cuidado.
DDÁCTICA DEL ÁLGEBRA
Aspectos importantes de la enseñanza del álgebra.
DDÁCTICA DEL ÁLGEBRA
Aspectos importantes de la enseñanza del álgebra.
La notación liberal y los errores del cálculo.
El álgebra puede considerarse como una continuación de la aritmética y como tal debe ser enseñada. Implica un cambio metodológico.
Se requiere especial cuidado didáctico para que quede patente el nexo entre ambas materias, y que el alumno perciba que el simbolismo algebraico es solo una manera de generalizar ciertas propiedades aritméticas.
El álgebra puede considerarse como una continuación de la aritmética y como tal debe ser enseñada. Implica un cambio metodológico.
Se requiere especial cuidado didáctico para que quede patente el nexo entre ambas materias, y que el alumno perciba que el simbolismo algebraico es solo una manera de generalizar ciertas propiedades aritméticas.
La resolución de ecuaciones
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